Если избиратели голосуют между тремя или более кандидатами попарно, может возникнуть циклическое предпочтение: A побеждает B, B побеждает C, а C побеждает A — и определить «истинного» победителя невозможно, потому что его попросту не существует.
История возникновения парадокса
Франция, конец XVIII века. Революция ещё не грянула, но интеллектуальные салоны Парижа уже кипят идеями о справедливом устройстве общества. Маркиз Николя де Кондорсе — математик, философ-просветитель, секретарь Французской академии наук — задаётся вопросом, который кажется элементарным: если большинство предпочитает одного кандидата другому, может ли коллективный выбор быть последовательным?
В 1785 году Кондорсе публикует трактат «Эссе о применении анализа к вероятности решений, принимаемых большинством голосов» (Essai sur l’application de l’analyse à la probabilité des décisions rendues à la pluralité des voix). Название длинное и неуклюжее, но открытие внутри — взрывное. Кондорсе математически доказал, что коллективные предпочтения могут зацикливаться, даже если каждый отдельный избиратель мыслит абсолютно логично.
| Параметр | Детали |
|---|---|
| Автор | Мари Жан Антуан Николя де Карита, маркиз де Кондорсе (1743-1794) |
| Год публикации | 1785 |
| Название работы | Essai sur l’application de l’analyse à la probabilité des décisions rendues à la pluralité des voix |
| Контекст | Предреволюционная Франция, поиск математических основ демократии |
| Область | Теория социального выбора, теория голосования, математика |
| Переоткрытие | Чарльз Доджсон (Льюис Кэрролл) в 1870-х годах, Дункан Блэк в 1948 году |
Судьба самого Кондорсе трагична. Во время Великой французской революции он поддержал республику, но выступил против якобинской конституции. Его объявили предателем. Скрываясь от ареста, он был пойман и умер в тюрьме в 1794 году — по официальной версии, от истощения, по неофициальной — отравился. Парадокс, носящий его имя, на полтора столетия оказался почти забытым.
Только в XX веке экономисты и политологи осознали масштаб проблемы. Дункан Блэк в 1948 году заново открыл цикличность коллективных предпочтений, а Кеннет Эрроу в 1951 году обобщил её в своей знаменитой теореме невозможности, за которую получил Нобелевскую премию по экономике в 1972 году.
В чём именно заключается противоречие
Представьте трёх друзей — Алису, Бориса и Веру — которые решают, куда пойти ужинать. Выбор между тремя ресторанами: итальянским (И), японским (Я) и мексиканским (М).
| Избиратель | Первый выбор | Второй выбор | Третий выбор |
|---|---|---|---|
| Алиса | Итальянский | Японский | Мексиканский |
| Борис | Японский | Мексиканский | Итальянский |
| Вера | Мексиканский | Итальянский | Японский |
Теперь сравним рестораны попарно, как предлагал Кондорсе:
- Итальянский против Японского: Алиса за итальянский, Вера за итальянский, Борис за японский. Счёт 2:1 — побеждает итальянский.
- Японский против Мексиканского: Алиса за японский, Борис за японский, Вера за мексиканский. Счёт 2:1 — побеждает японский.
- Мексиканский против Итальянского: Борис за мексиканский, Вера за мексиканский, Алиса за итальянский. Счёт 2:1 — побеждает мексиканский.
Итальянский лучше японского. Японский лучше мексиканского. Значит, итальянский лучше мексиканского? Нет! Мексиканский лучше итальянского. Круг замкнулся.
Каждый из трёх человек мыслит идеально рационально — их индивидуальные предпочтения не содержат ни единого противоречия. Но стоит объединить три безупречных рассуждения в одно коллективное решение, как рождается логическая петля, которую невозможно разорвать.
Это не сбой системы. Это не ошибка подсчёта. Это фундаментальное свойство любого голосования, в котором участвуют три и более альтернативы. Группа может быть «иррациональной» даже тогда, когда каждый её член абсолютно рационален.
Задумайтесь: если вы входите в комитет из трёх человек и голосуете за один из трёх проектов, порядок, в котором проекты ставятся на голосование, определяет победителя. Тот, кто составляет повестку дня, фактически назначает результат. Знали ли вы, что председатель собрания может обладать большей властью, чем все голосующие вместе взятые?
Попытки решения
За более чем два столетия десятки блестящих умов пытались справиться с парадоксом Кондорсе. Ни одному не удалось его «решить» в полном смысле слова — но каждая попытка обнажила новые грани проблемы.
| Подход / Метод | Автор(ы) | Год | Суть решения | Ограничения |
|---|---|---|---|---|
| Метод Борда | Жан-Шарль де Борда | 1770 | Каждому кандидату присваиваются баллы по рангу в бюллетене, побеждает тот, кто набрал больше всего очков | Уязвим к стратегическому голосованию; не всегда выбирает победителя Кондорсе, если он существует |
| Метод Кондорсе с упорядочением | Кондорсе (оригинальная идея) | 1785 | Если существует кандидат, побеждающий всех остальных попарно, он и есть победитель | Не решает проблему при наличии цикла — то есть именно тогда, когда нужнее всего |
| Метод Чарльза Доджсона | Чарльз Доджсон (Льюис Кэрролл) | 1876 | Выбирается кандидат, для превращения которого в победителя Кондорсе требуется наименьшее число «перестановок» в бюллетенях | Вычислительно сложен (NP-трудная задача); не всегда интуитивно понятен |
| Теорема медианного избирателя | Дункан Блэк | 1948 | Если предпочтения избирателей «одновершинные» (упорядочены вдоль одной оси), цикл невозможен | Работает только при одномерном политическом спектре; реальная политика многомерна |
| Теорема невозможности Эрроу | Кеннет Эрроу | 1951 | Не решение, а доказательство того, что идеальной системы голосования не существует в принципе | Показывает границы возможного, но не предлагает практического выхода |
| Ранжированные пары (метод Тайдмана) | Николаус Тайдман | 1987 | Фиксируются попарные победы от наиболее убедительных к наименее; цикличные связи отбрасываются | Сложнее для понимания избирателями; может отбрасывать «важные» связи |
| Метод Шульце | Маркус Шульце | 1997 | Используется «сильнейший путь» между кандидатами в графе попарных побед | Математически элегантен, но труднообъясним для широкой публики |
Особого внимания заслуживает теорема Эрроу. Кеннет Эрроу сформулировал пять условий, которым, казалось бы, должна удовлетворять любая разумная система голосования:
- Универсальность — система работает при любом наборе индивидуальных предпочтений.
- Единогласие (принцип Парето) — если все предпочитают A перед B, общество тоже должно предпочесть A перед B.
- Независимость от посторонних альтернатив — отношение общества к A и B не должно зависеть от того, как люди относятся к C.
- Транзитивность — если общество предпочитает A перед B и B перед C, оно должно предпочитать A перед C.
- Отсутствие диктатора — нет человека, чьи предпочтения автоматически становятся общественными.
Эрроу доказал: не существует системы голосования для трёх и более альтернатив, которая одновременно удовлетворяла бы всем пяти условиям. Парадокс Кондорсе — это не аномалия. Это неизбежность.
Льюис Кэрролл — да, тот самый автор «Алисы в Стране чудес» — серьёзно занимался этой проблемой. Профессор математики Оксфордского университета Чарльз Лютвидж Доджсон (его настоящее имя) написал несколько памфлетов о системах голосования для использования в академических комитетах. Его раздражала иррациональность принятия решений на заседаниях колледжа, и он разработал собственный метод, который позже был назван «методом Доджсона». Создатель абсурдистской литературы боролся с абсурдом в демократии — и проиграл.
Где парадокс встречается в реальной жизни, науке и математике
Парадокс Кондорсе — не абстрактная головоломка для философских журналов. Он проявляется повсюду, где группа людей (или алгоритмов) пытается агрегировать ранжированные предпочтения.
Политика и выборы
- Президентские выборы во Франции, 2002 год. В первом туре Жак Ширак получил 19,9% голосов, Жан-Мари Ле Пен — 16,9%, Лионель Жоспен — 16,2%. Опросы показывали, что Жоспен победил бы Ле Пена в прямом противостоянии, а Ширак победил бы Жоспена. Но из-за системы двух туров Жоспен был исключён, и финал оказался между Шираком и Ле Пеном. Порядок выбывания изменил результат — классическое проявление проблем, описанных Кондорсе.
- Выборы в Сенат США (Аляска, 2010). Трёхсторонняя гонка между Джо Миллером, Лизой Мурковски и Скоттом Макадамсом привела к ситуации, где результат зависел от распределения голосов между «спойлерами».
- Парламентские голосования. Законодательные органы регулярно сталкиваются с циклическим большинством при голосовании по поправкам. Порядок рассмотрения поправок определяет итоговый текст закона — именно поэтому должность спикера столь влиятельна.
Наука и технологии
| Область | Проявление парадокса |
|---|---|
| Искусственный интеллект | Системы мультиагентного принятия решений могут зацикливаться, когда несколько алгоритмов агрегируют свои «предпочтения» — например, при ранжировании результатов поиска несколькими критериями |
| Экономика | Агрегирование потребительских предпочтений в маркетинговых исследованиях может давать цикличные результаты: группа «предпочитает» продукт A продукту B, B — продукту C, а C — продукту A |
| Биология | Нетранзитивность наблюдается в природе: у ящериц вида Uta stansburiana три морфы (оранжевая, синяя, жёлтая) конкурируют по принципу «камень-ножницы-бумага» — каждая побеждает одну, но проигрывает другой |
| Спорт | Команда A стабильно обыгрывает B, B обыгрывает C, но C обыгрывает A. Это регулярно наблюдается в футболе, баскетболе, бейсболе — и делает невозможным объективный рейтинг без турнирной таблицы |
| Теория игр | Игра «камень-ножницы-бумага» — простейшая модель нетранзитивности. Не существует «лучшей» стратегии, как не существует «лучшего» кандидата при цикле Кондорсе |
| Управление проектами | Комитет, выбирающий между тремя проектами по нескольким критериям (стоимость, скорость, качество), может получить циклическое «предпочтение», если каждый член комитета по-разному взвешивает критерии |
Повседневная жизнь
Вы наверняка сталкивались с этим, даже не зная названия. Три друга выбирают фильм. Каждый готов уступить, но каждое попарное сравнение даёт разный результат. В итоге побеждает тот вариант, который предложили последним, или тот, за который громче всех кричали. Это не демократия — это случайность, замаскированная под голосование.
Мысленный эксперимент: вы — председатель комиссии из 15 человек, которая выбирает между тремя стратегиями развития компании. Вы знаете предпочтения каждого члена комиссии и видите, что возникает цикл Кондорсе. Вы можете выбрать порядок, в котором стратегии будут сравниваться попарно. По сути, вы уже знаете результат до голосования. Этично ли использовать эту власть? И не используют ли её уже сейчас те, кто формирует повестку парламентских заседаний?
Математическая сторона: насколько часто возникает цикл?
Естественный вопрос: может быть, парадокс Кондорсе — экзотическая редкость, которая почти никогда не встречается на практике? Математики подсчитали вероятность возникновения цикла при различных условиях.
| Количество кандидатов | Количество избирателей | Вероятность цикла (при случайных предпочтениях) |
|---|---|---|
| 3 | 3 | ≈ 5,6% |
| 3 | 15 | ≈ 8,4% |
| 3 | ∞ (предел) | ≈ 8,8% |
| 4 | ∞ | ≈ 17,5% |
| 5 | ∞ | ≈ 25,1% |
| 7 | ∞ | ≈ 35,2% |
| 10 | ∞ | > 40% |
Эти числа рассчитаны в предположении «импартиальной культуры» (impartial culture), когда все возможные ранжирования кандидатов равновероятны. В реальности предпочтения избирателей коррелированы — люди с похожими взглядами голосуют похоже — и это снижает вероятность цикла. Но при многомерной политической повестке (когда важны и экономика, и экология, и миграция одновременно) вероятность цикла резко возрастает.
При десяти кандидатах вероятность того, что у группы не окажется «настоящего» победителя, превышает 40%. Это не баг демократии — это её фундаментальное математическое свойство.
Интересные факты и связанные парадоксы
Парадокс Кондорсе — часть целого семейства парадоксов голосования и социального выбора. Каждый из них обнажает отдельный изъян в наших представлениях о «справедливом» решении.
- Парадокс Борда. Жан-Шарль де Борда, современник Кондорсе, предложил балльную систему голосования. Кондорсе показал, что метод Борда может выбрать кандидата, которого большинство считает худшим в попарном сравнении. Борда и Кондорсе спорили об этом при жизни — и этот спор не разрешён до сих пор.
- Парадокс Остогорского. Даже если большинство избирателей согласно с партией по большинству вопросов, агрегированный результат может противоречить позиции этой партии по каждому конкретному вопросу.
- Парадокс Симпсона. Тенденция, наблюдаемая в нескольких подгруппах данных, может исчезнуть или обратиться при объединении групп. Структурно схож с парадоксом Кондорсе — агрегирование уничтожает информацию.
- Нетранзитивные кости Эфрона. Набор игральных костей, где кость A в среднем обыгрывает B, B обыгрывает C, а C обыгрывает A. Физическое воплощение цикла Кондорсе, которое можно подержать в руках.
- Теорема Гиббарда-Саттертуэйта (1973). Любая детерминированная система голосования для трёх и более кандидатов, которая не является диктаторской, уязвима для стратегического голосования. Другими словами: если парадокс Кондорсе не убил вашу веру в идеальные выборы, эта теорема добьёт.
Факты, о которых редко говорят
| Факт | Пояснение |
|---|---|
| Метод Шульце используется в реальных организациях | Wikimedia Foundation, Debian, Gentoo Linux, Pirate Party Germany и другие организации применяют метод Шульце для внутренних выборов — он гарантирует выбор победителя Кондорсе, если тот существует, и разумно разрешает циклы, если нет |
| Кондорсе предвосхитил Эрроу на 166 лет | По сути, парадокс Кондорсе — это частный случай теоремы невозможности Эрроу. Но маркиз сформулировал проблему задолго до появления формального аппарата теории социального выбора |
| Льюис Кэрролл не знал о работах Кондорсе | Доджсон переоткрыл парадокс независимо в 1870-х годах, разбирая систему голосования в Крайст-Чёрч-колледже Оксфорда. Два гения — один французский просветитель, другой английский сказочник — пришли к одному и тому же выводу с разницей в столетие |
| Древние уже догадывались | Плиний Младший в I веке н.э. описал ситуацию в римском Сенате, в которой порядок голосования определял результат — хотя и не сформулировал это как математическую проблему |
| Парадокс имеет отношение к турнирам | В теории графов цикл Кондорсе эквивалентен «турниру без гамильтонова источника» — направленному графу, в котором нет вершины, из которой достижимы все остальные через победы |
| Одновершинные предпочтения спасают демократию — иногда | Если политический спектр одномерен (только «левые-правые»), цикл Кондорсе невозможен. Но стоит добавить вторую ось (например, «либертарианцы-авторитарии»), и циклы возвращаются |
Практические последствия
Парадокс Кондорсе — одна из причин, по которой в мире существует такое разнообразие избирательных систем. Ни одна из них не идеальна — это доказано математически. Но одни системы хуже других.
- Плюралитарная система (побеждает набравший больше всех голосов) — наиболее уязвима к «эффекту спойлера», прямому следствию парадокса Кондорсе. Третий кандидат может отнять голоса у ближайшего к нему по взглядам и обеспечить победу наименее популярному.
- Системы с ранжированным голосованием (instant-runoff voting, single transferable vote) — смягчают проблему, но не устраняют её. В них всё ещё возможна ситуация, когда победитель Кондорсе проигрывает.
- Кондорсе-совместимые системы (методы Шульце, ранжированных пар, Копленда) — гарантируют, что победитель Кондорсе будет избран, если он существует. Но при наличии цикла каждый из этих методов разрешает его по-своему, и «правильного» способа разрешения не существует.
Демократия — лучшая из известных нам систем управления. Но математика утверждает, что даже в идеальной демократии, где каждый голос честен и каждый избиратель рационален, коллективный выбор может оказаться бессмысленным. Это не повод отказываться от голосования. Это повод понимать, как именно голосование работает — и где оно ломается.